Question

8．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=$\frac{1}{8}$，且S₂+$\frac{1}{16}$，S₃，S₄成等差数列，数列{b_n}满足b_n=8n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记数列{a_n}的公比为q，则2S₃=S₂+$\frac{1}{16}$+S₄，即${a}_{3}={a}_{4}+\frac{1}{16}$，又由a₃=$\frac{1}{8}$，知a₄=$\frac{1}{16}$，从而q=$\frac{1}{2}$，根据公式即得结果；
（Ⅱ）当b_n=8n时，a_n•b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$•8n，计算出T_n、$\frac{1}{2}•$T_n，两式相减即得结论T_n．

解答 解：（Ⅰ）记数列{a_n}的公比为q，由S₂+$\frac{1}{16}$，S₃，S₄成等差数列，
可知2S₃=S₂+$\frac{1}{16}$+S₄，即${a}_{3}={a}_{4}+\frac{1}{16}$，
又a₃=$\frac{1}{8}$，故a₄=$\frac{1}{16}$，从而$q=\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{2}$，
则a₁=$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$ （n∈N^*）；
（Ⅱ）当b_n=8n时，a_n•b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$•8n，
所以T_n=$\frac{1}{2}•8+\frac{1}{{2}^{2}}•16+…+\frac{1}{{2}^{n}}•8n$，
$\frac{1}{2}•$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}•8$$+\frac{1}{{2}^{3}}•16+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}•8n$，
两式相减，得：$\frac{1}{2}•$T_n=$\frac{1}{2}•8+\frac{1}{{2}^{2}}•8+…+\frac{1}{{2}^{n}}•8-\frac{1}{{2}^{n+1}}•8n$
=$8×\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}-\frac{8n}{{2}^{n+1}}$
=$8-\frac{16+8n}{{2}^{n+1}}$，
所以T_n=16$-\frac{16+8n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式、等差中项的应用、错位相减法求和，考查转化与化归思想、运算求解能力和数据处理能力，属于中档题．