Question

13．已知复数z=3+4i，$\overline{z}$对应点B，点A、C满足$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OC}$．
（1）求点C的坐标；
（2）若点C在角α的终边上，求sin2α+cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）由复数z=3+4i，可得$\overline{z}$=3-4i对应点B（3，-4），由于点A、C满足$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OC}$，可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$，即可得出．
（2）由|OC|=$\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}$=5，可得sinα=-$\frac{4}{5}$，$cosα=\frac{3}{5}$．利用倍角公式即可得出．

解答 解：（1）∵复数z=3+4i，
则$\overline{z}$=3-4i对应点B（3，-4），
由点A、C满足$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OC}$，∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$=（3，-4）．
∴C（3，-4）．
（2）∵|OC|=$\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}$=5，
∴sinα=-$\frac{4}{5}$，$cosα=\frac{3}{5}$．
∴sin2α=2sinαcosα=$2×（-\frac{4}{5}）×\frac{3}{5}$=-$\frac{24}{25}$，
cos2α=1-2sin²α=1-$2×（-\frac{4}{5}）^{2}$=-$\frac{7}{25}$，
∴sin2α+cos2α=$-\frac{24}{25}-\frac{7}{25}$=-$\frac{31}{25}$．

点评 本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义、向量的运算法则及其模的计算公式、倍角公式，考查了计算能力，属于基础题．