Question

4．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，∠A=2∠B，则$\frac{c}{b}$-$\frac{b}{a}$的取值范围是（-1，$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 由条件结合三角形的内角和定理，可得B∈（0，$\frac{π}{3}$），即有cosB∈（$\frac{1}{2}$，1），再由正弦定理和二倍角公式化简整理，再令cosB=t（$\frac{1}{2}$＜t＜1），则有y=4t²-$\frac{1}{2t}$-1，运用函数的单调性即可得到取值范围．

解答 解：由∠A=2∠B，可得
C=π-A-B=π-3B，
由A，B，C∈（0，π），可得
B∈（0，$\frac{π}{3}$），即有cosB∈（$\frac{1}{2}$，1），
由∠A=2∠B，可得
sinA=sin2B=2sinBcosB，
则有$\frac{c}{b}$-$\frac{b}{a}$=$\frac{sinC}{sinB}$-$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{sin3B}{sinB}$-$\frac{sinB}{2sinBcosB}$
=3-4sin²B-$\frac{1}{2cosB}$
=4cos²B-$\frac{1}{2cosB}$-1，
令cosB=t（$\frac{1}{2}$＜t＜1），
则有y=4t²-$\frac{1}{2t}$-1，
由y′=8t+$\frac{1}{2{t}^{2}}$＞0，可得
y=4t²-$\frac{1}{2t}$-1在（$\frac{1}{2}$，1）递增，
即有-1＜y＜$\frac{5}{2}$．
故答案为：（-1，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的运用，同时考查函数的单调性的运用，属于中档题．