Question

11．已知在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），则S₂₀₁₄的值为（　　）

• A． 2014
• B． 4027
• C． $\frac{1}{4027}$
• D． $\frac{1}{2014}$

Answer 1

分析 运用a_n=S_n-S_n-1，代入化简得出：$\frac{1}{{S}_{n}}$$-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，n≥2，$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，判断出数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}首项为1，公差为2的等差数列，根据等差数列的通项公式求出S_n=$\frac{1}{2n-1}$
即可得出S₂₀₁₄．

解答 解：∵数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-$\frac{1}{2}$），
化简得出：$\frac{1}{{S}_{n}}$$-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，n≥2，$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}首项为1，公差为2的等差数列，
$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
解S₂₀₁₄=$\frac{1}{4027}$，
故选：C．

点评 本题考查了运用数列的通项公式，前n项和公式的转化，构造等差数列，求解问题，属于中的题目．