Question

16．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象过点（$\frac{π}{12}$，1）．
（1）求φ的值；
（2）在△A BC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²+b²-c²=ab，$f（{\frac{A}{2}+\frac{π}{12}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求sinB．

Answer 1

分析 （1）代入点的坐标，由特殊角的三角函数值，即可求得所求值；
（2）运用余弦定理，可得C，再由条件可得A，运用三角形的内角和定理即可得到B，进而得到sinB．

解答 解：（1）由$f（{\frac{π}{12}}）=1$得：$sin（{\frac{π}{6}+φ}）=1$，
∵0＜φ＜π，∴$\frac{π}{6}＜\frac{π}{6}+φ＜\frac{7π}{6}$，
故$\frac{π}{6}+φ=\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{3}$；
（2）∵a²+b²-c²=ab，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴$C=\frac{π}{3}$，
由（1）知：$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，
∴$f（{\frac{A}{2}+\frac{π}{12}}）=sin（{{A}+\frac{π}{2}}）=cos{A}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵0＜A＜π∴${A}=\frac{π}{4}$，
∵${B}=π-（{{A}+C}）=\frac{5π}{12}$
∴$sin{B}=sin\frac{5π}{12}=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查三角函数的求值，同时考查余弦定理的运用，以及诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．