Question

5．已知函数f（x）=e^x
（Ⅰ）当f（x）≥ex+a对任意的实数x恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a＜b，a，b∈R，求证：$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{2}$[$\frac{f（a）+f（b）}{2}$+f（$\frac{a+b}{2}$）]．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设g（x）=f（x）-ex-a，求出导数利用导数的符号，判断函数的单调性，求出最小值，即可得到a的范围．
（Ⅱ）设a=lnm，b=lnn，要证明：$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{2}$[$\frac{f（a）+f（b）}{2}$+f（$\frac{a+b}{2}$）]．转化为证明$\frac{{\sqrt{m}-\sqrt{n}}}{lnm-lnn}＜\frac{{\sqrt{m}+\sqrt{n}}}{4}$构造函数，h（x）=lnx-$2•\frac{x-1}{x+1}$利用函数的单调性，然后令x=$\sqrt{\frac{m}{n}}$，证明即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设g（x）=f（x）-ex-a，
则g′（x）=e^x-e，令g′（x）＞0⇒x＞1；
可得g（x）在（1，+∞）上递增；
令g′（x）＜0⇒x＜1，在（-∞，1）为减函数，
∴g（x）_min=g（1）=-a≥0，
从而a≤0…（4分）
（Ⅱ）设a=lnm，b=lnn，f（x）=e^x，
要证明：$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{2}$[$\frac{f（a）+f（b）}{2}$+f（$\frac{a+b}{2}$）]．
也就是证明：$\frac{{\sqrt{m}-\sqrt{n}}}{lnm-lnn}＜\frac{{\sqrt{m}+\sqrt{n}}}{4}$…．（6分），
构造函数，h（x）=lnx-$2•\frac{x-1}{x+1}$…．（8分）
可以证明h（x）在（1，+∞）上为增函数，h（x）＞h（1）=0，
令x=$\sqrt{\frac{m}{n}}$，得$ln\sqrt{\frac{m}{n}}＞2\frac{{\sqrt{\frac{m}{n}}-1}}{{\sqrt{\frac{m}{n}}+1}}，即$，$lnm-lnn＞4\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}$，
可得$\frac{{\sqrt{m}-\sqrt{n}}}{{\sqrt{m}+\sqrt{n}}}＜\frac{{\sqrt{m}+\sqrt{n}}}{4}$…（11分）
所以$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＜\frac{1}{2}[{\frac{f（a）+f（b）}{2}+f（\frac{a+b}{2}）}]$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，构造法证明不等式的方法，考查分析问题解决问题的能力．