Question

20．在平面直角坐标系xOy上的区域D不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-4≥0\\ 2y-3≤0\end{array}\right.$给定．若M（x，y）为D上的动点，点N的坐标为（1，3），则z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最小值为$\frac{14}{3}$．

Answer 1

分析 利用向量的数量积运算，求出z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x+3y，利用z的几何意义，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
∵M（x，y）为D上的动点，点N的坐标为（1，3），
∴z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x+3y，
由z=x+3y得y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，
平移直线y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，
由图象可知当直线y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z经过点A时，y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z的截距最小，此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$），
代入z=x+3y=$\frac{8}{3}$+$\frac{2}{3}$×3=$\frac{14}{3}$．
即目标函数z=x+3y最小值为$\frac{14}{3}$．
故答案为：$\frac{14}{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及数量积的运算，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．