Question

10．若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是1-$\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$．．

Answer 1

分析 根据“局部奇函数”，可知函数f（-x）=-f（x）有解即可，结合指数函数的性质，利用换元法进行求解．

解答 解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（-x）=-f（x）有解即可，
即f（-x）=4^-x-m2^-x+1+m²-3=-（4^x-m2^x+1+m²-3），
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0，
即（2^x+2^-x）²-2m?（2^x+2^-x）+2m²-8=0有解即可．
设t=2^x+2^-x，则t=2^x+2^-x≥2，
∴方程等价为t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2时有解，
设g（t）=t²-2m?t+2m²-8，
对称轴x=$-\frac{-2m}{2}=m$，
①若m≥2，则△=4m²-4（2m²-8）≥0，
即m²≤8，
∴-2$\sqrt{2}≤m≤2\sqrt{2}$，此时2$≤m≤2\sqrt{2}$，
②若m＜2，要使t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2时有解，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{f（2）≤0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{1-\sqrt{3}≤m≤1+\sqrt{3}}\\{-2\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得1-$\sqrt{3}≤m＜2$，
综上：1-$\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$．
故答案为：1-$\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查函数的新定义，利用函数的新定义得到方程有解的条件，利用换元法将方程转化为一元二次方程有解的问题去解决是解决本题的关键．综合考查了二次函数的图象和性质．