Question

20．抛物线y²=4x上存在两点关于直线l：y=$\frac{1}{2}$x+m对称，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 设两对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由条件可设AB方程为：y=-2x+t，与抛物线y²=4x消去y得关于x的一元二次方程，则△＞0①，由韦达定理可表示AB中点横坐标，代入y=$\frac{1}{2}$x+m得其纵坐标，再代入AB方程得m与t的方程，联立①即可求得m的取值范围，

解答 解：设两对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线l：y=$\frac{1}{2}$x+m垂直平分线段AB，
设AB：y=-2x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得4x²-4（t+1）x+t²=0，
则△=16（t+1）²-16t²＞0，即t＞-$\frac{1}{2}$①，
x₁+x₂=t+1，
则AB中点横坐标为$\frac{t+1}{2}$，
代入y=$\frac{1}{2}$x+m，得y=$\frac{1}{2}$•$\frac{t+1}{2}$+m，
所以AB中点坐标为（$\frac{t+1}{2}$，$\frac{t+1}{4}$+m），
又中点在直线AB上，
所以$\frac{t+1}{4}$+m=-2•$\frac{t+1}{2}$+t，即t=-4m-5，
由①得-4m-5＞-$\frac{1}{2}$，
解得m＜-$\frac{9}{8}$，
所以m的取值范围为：（-∞，-$\frac{9}{8}$）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查轴对称问题，本题采用“方程、不等式”法，解决本题的关键是用数学式子充分刻画条件：两点关于直线对称．