Question

12．已知数列g（x）的前n项和为（t，3），a₁=$\frac{1}{2}，{S_n}={n^2}{a_n}$-n（n-1），n=1，2，…．
（Ⅰ）证明：数列$\left\{{\frac{n+1}{n}{S_n}}\right\}$是等差数列，并求S_n；
（Ⅱ）设${b}_{n}=\frac{{S}_{n}}{{n}^{3}+3{n}^{2}}$，求证：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1，判断$\left\{{\frac{n+1}{n}{S_n}}\right\}$是等差数列．然后求解S_n．
（Ⅱ）化简${b}_{n}=\frac{{S}_{n}}{{n}^{3}+3{n}^{2}}$，利用裂项法求和，即可证明结果．

解答 解：（Ⅰ）证明：由${S_n}={n^2}{a_n}-n（n-1）$知，当n≥2时：${S_n}={n^2}（{S_n}-{S_{n-1}}）-n（n-1）$，
即$（{n^2}-1）{S_n}-{n^2}{S_{n-1}}=n（n-1）$，∴$\frac{n+1}{n}{S_n}-\frac{n}{n-1}{S_{n-1}}=1$，对n≥2成立．
又$\frac{1+1}{1}{S_1}=1$，∴$\left\{{\frac{n+1}{n}{S_n}}\right\}$是首项为1，公差为1的等差数列．$\frac{n+1}{n}{S_n}=1+（n-1）•1$，∴${S_n}=\frac{n^2}{n+1}$． …（6分）
（Ⅱ）${b_n}=\frac{S_n}{{{n^3}+3{n^2}}}=\frac{1}{（n+1）（n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，…（8分）
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$
=$\frac{1}{2}（\frac{5}{6}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）＜\frac{5}{12}$．…（12分）

点评 本题考查数列求和，等差数列的判断，数列求和的方法，考查计算能力．