Question

11．定义在R上的函数f（x）是增函数，且对任意的x恒有f（x）=-f（2-x），若实数a，b满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}^{2}-6a+23）+f（{b}^{2}-8b）≤0}\\{a≥3}\end{array}\right.$，则a²+b²的范围为[13，49]．

Answer 1

分析 根据函数的单调性将不等式组进行转化，结合线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=-f（2-x），∴-f（x）=f（2-x），
∴f（a²-6a+23）+f（b²-8b）≤0可化为f（a²-6a+23）≤-f（b²-8b）=f（2-b²+8b），
又∵f（x）在R上单调递增，∴a²-6a+23≤2-b²+8b，
即a²-6a+23+b²-8b-2≤0，配方可得（a-3）²+（b-4）²≤4，
∴原不等式组可化为（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0，
如图，点（a，b）所对应的区域为以（3，4）为圆心，2为半径的右半圆（含边界），
易知a²+b²表示点（a，b）到点（0，0）的距离的平方，
由图易知：|OA|²≤a²+b²≤|OB|²，可得点A（3，2），圆心C（3，4），
∴|OA|²=3²+2²=13，|OC|=5，
则最大值为（|OC|+2）²=7²=49
∴13≤m²+n²≤49，即m²+n²的取值范围为[13，49]．
故答案为：[13，49]

点评 本题主要考查函数单调性的应用以及线性规划的应用，根据单调性将不等式进行转化是解决本题的关键．