Question

3．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（-1，1），若非零向量$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$共线且反向，且|$\overrightarrow{c}$|=8$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$夹角的余弦值为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由已知条件，可设$\overrightarrow{c}=t（-1，1）$，t＜0，根据$|\overrightarrow{c}|=8\sqrt{2}$即可求出t=-8，所以可求出向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$的坐标，从而根据向量夹角余弦的坐标公式求出这两向量夹角的余弦即可．

解答 解：根据题意设$\overrightarrow{c}=t（-1，1）$，t＜0；
∵$|\overrightarrow{c}|=8\sqrt{2}$；
∴$-\sqrt{2}t=8\sqrt{2}$；
∴t=-8；
∴$\overrightarrow{c}=（8，-8）$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（4，3），2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=（14，0）$；
$cos＜\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}，2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}＞$=$\frac{4×14}{5×14}=\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 考查共线向量基本定理，根据向量坐标求向量长度，以及数量积的坐标运算，两向量夹角余弦的坐标公式．