Question

1．已知向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个共线向量，若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求证：$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 根据向量共线的等价条件进行证明即可．

解答 证明：∵向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个共线向量，
∴设$\overrightarrow{{e}_{1}}$=m$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
则$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（m-1）$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=2m$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（2m+2）$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
若$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
若$\overrightarrow{{e}_{2}}$≠$\overrightarrow{0}$，
若m=1，则$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
若m=-1，则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
若m≠1且m≠-1，则$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{m-1}$$\overrightarrow{a}$，
即$\overrightarrow{b}$=（2m+2）$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{2m+2}{m-1}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线．
综上恒有$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．

点评 本题主要考查向量共线的证明，比较基础．