Question

13．在△ABC中，AC=2，AB=2，BC=$\sqrt{3}$，P是△ABC内部的一点，若$\frac{{S}_{△PAB}}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}$=$\frac{{S}_{△PBC}}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}}$=$\frac{{S}_{△PCA}}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}}$（S表示相应三角形的面积），则PA+PB+PC=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 运用三角形的面积公式和向量的数量积的定义，结合三角形的余弦定理，计算即可得到所求值．

解答 解：由$\frac{{S}_{△PAB}}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}$=$\frac{{S}_{△PBC}}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}}$=$\frac{{S}_{△PCA}}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}}$，
可得$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{PB}|sin∠APB}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{PB}|cos∠APB}$=$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{PC}|sin∠BPC}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{PC}|cos∠BPC}$=$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{PA}|sin∠APC}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{PA}|cos∠APC}$，
则有tan∠APB=tan∠BPC=tan∠APC，
由于0＜∠APB，∠BPC，∠APC＜π，且∠APB+∠BPC+∠APC=2π，
则∠APB=∠BPC=∠APC=$\frac{2π}{3}$，
由于AB=AC=2，BC=$\sqrt{3}$，
由△APB≌△APC，
则PB=PC=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin\frac{π}{3}}$=1，
在△APB中，AB²=AP²+BP²-2AP•BPcos$\frac{2π}{3}$，
即有4=AP²+1+AP，
解得AP=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，
则有PA+PB+PC=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$+2=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$．
故答案为：$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和三角形的面积公式，同时考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．