Question

14．设反比例函数f（x）=$\frac{1}{x}$与二次函数g（x）=ax²+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，则$\frac{y_1}{y_2}$=（　　）

• A． 2或$\frac{1}{2}$
• B． -2或$-\frac{1}{2}$
• C． 2或$-\frac{1}{2}$
• D． -2或$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据已知条件可以画出f（x），g（x）的图象，由图象可得到方程$\frac{1}{x}=a{x}^{2}+bx$，即方程ax³+bx²-1=0有两个二重根，和一个一重根，所以可设二重根为c，另一根为d．所以上面方程又可表示成：a（x-c）²（x-d）=ax³-（ad+2ac）x²+（2acd+ac²）x-ac²d=0，所以便得到2acd+ac²=0，所以c=-2d．所以再根据图象可得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=-\frac{1}{2}，或-2$．

解答 解：根据题意可画出f（x），g（x）可能的图象：

A，B两点的横坐标便是方程$\frac{1}{x}=a{x}^{2}+bx$即ax³+bx²-1=0的解；
由上面图象知道A，B两点中有一个点是f（x），g（x）图象的切点，反应在方程上是方程的二重根；
所以可设二重根为c，另一根为d，则上面方程可变成：
a（x-c）²（x-d）=0；
将方程展开：ax³-（ad+2ac）x²+（2acd+ac²）x-ac²d=0；
∴2acd+ac²=0；
由图象知a，c≠0；
∴由上面式子得：c=-2d；
${y}_{1}=\frac{1}{{x}_{1}}，{y}_{2}=\frac{1}{{x}_{2}}$；
∴$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$；
∴由图象知x₁=c，x₂=d，或x₁=d，x₂=c；
∴$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=-\frac{1}{2}，或-2$．
故选：B．

点评 考查曲线的公共点和两曲线方程形成方程组的解的关系，以及方程二重根的概念，知道了方程的根会把方程表示成因式乘积的形式，两多项式相等时对应系数相等．