Question

9．已知等比数列{a_n}的首项a₁、公比q是关于x的方程（t-1）x²+2x+（2t-1）=0的实数解，若数列{a_n}有且只有一个，则实数t的取值集合为{0，$\frac{1}{2}$，1，$\frac{3}{2}$}．

Answer 1

分析 由题意，先讨论方程（t-1）x²+2x+（2t-1）=0是一次方程还是二次方程，再讨论二次方程的解的情况，从而确定答案．

解答 解：∵数列{a_n}有且只有一个，
∴a₁=q，
若t-1=0，即t=1时，方程（t-1）x²+2x+（2t-1）=0是一次方程，x=$-\frac{1}{2}$，成立；
若t-1≠0且2t-1=0，即t=$\frac{1}{2}$时，方程（t-1）x²+2x+（2t-1）=0的解为x=0或x=4，成立；
若方程（t-1）x²+2x+（2t-1）=0有两个相同的解；
则△=4-4（t-1）（2t-1）=0，
解得，t=0或t=$\frac{3}{2}$，
当t=0时，方程（t-1）x²+2x+（2t-1）=0的解为x=1，
当t=$\frac{3}{2}$时，方程（t-1）x²+2x+（2t-1）=0的解为x=-2，成立；
综上所述，
实数t的取值集合为{0，$\frac{1}{2}$，1，$\frac{3}{2}$}；
故答案为：{0，$\frac{1}{2}$，1，$\frac{3}{2}$}．

点评 本题由等比数列的性质可得方程根的情况，考查了等比数列及二次方程，属于中档题．