Question

15．若向量$\overrightarrow{a}$=（sin（α+$\frac{π}{6}$），1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosα-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则sin（α+$\frac{4π}{3}$）=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 利用向量垂直的等价条件进行化简，利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即sin（α+$\frac{π}{6}$）+cosα-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=0，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{3}{2}$cosα=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
即$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=$\frac{1}{4}$，
即sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，
∴sin（α+$\frac{4π}{3}$）=sin（α+$\frac{π}{3}$+π）=-sin（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{4}$，
故选：C

点评 本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用向量垂直的等价条件已经三角函数的诱导公式是解决本题的关键．