Question

12．设P是△ABC内一点，且S_△ABC的面积为4，定义f（p）=（x，y，z），其中x，y，z分别是△PBC，△PCA，△PAB的面积，若△ABC内一动点m满足f（M）=（x，y，3），则$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 9
• C． 16
• D． 20

Answer 1

分析 先求出x+y=1，代入代数式得到$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1+$\frac{y}{x}$+$\frac{9x}{y}$+9，再利用基本不等式的性质，从而求出代数式的最小值．

解答 解：由题意得：x+y=1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=$\frac{x+y}{x}$+$\frac{9x+9y}{y}$=1+$\frac{y}{x}$+$\frac{9x}{y}$+9=10+$\frac{y}{x}$+$\frac{9x}{y}$≥10+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{9x}{y}}$=16，
当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{9x}{y}$即x=$\frac{1}{4}$，y=$\frac{3}{4}$时“=”成立，
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质的应用，求出x+y=1，代入代数式是解题的关键，本题属于中档题．