Question

10．已知x+$\frac{1}{x}$=-1，则x²⁰¹⁴+$\frac{1}{{x}^{2014}}$的值为-1．

Answer 1

分析 通过归纳得出x${\;}^{{2}^{n}}$$+\frac{1}{{x}^{{2}^{n}}}$=-1，n∈N*，而2014不是2的幂，
运用解方程得出x+$\frac{1}{x}$=-1，x=$\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$，运用复数的三角形形式求解得出答案．

解答 解：∵x+$\frac{1}{x}$=-1，
∴（x+$\frac{1}{x}$）²=1，
∴x²$+\frac{1}{{x}^{2}}$=-1
∵（x²$+\frac{1}{{x}^{2}}$）²=（-1）²=1
∴x⁴$+\frac{1}{{x}^{4}}$=-1，
∵（x⁴$+\frac{1}{{x}^{4}}$）²=（-1）²=1
∴x⁸$+\frac{1}{{x}^{8}}$=-1，
∴归纳得出x${\;}^{{2}^{n}}$$+\frac{1}{{x}^{{2}^{n}}}$=-1，n∈N*，
∵x+$\frac{1}{x}$=-1，
∴x=$\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$，
当x=$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$时，$\frac{1}{x}$=$\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$，
当x=$\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$时，$\frac{1}{x}$=$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$时，
∴x²⁰¹⁴+$\frac{1}{{x}^{2014}}$=（cos$\frac{2π}{3}$+isin$\frac{2π}{3}$）²⁰¹⁴+（cos$\frac{4π}{3}$+isin$\frac{4π}{3}$）²⁰¹⁴
=（cos$\frac{4028}{3}$π+isin$\frac{4028π}{3}$）+（cos$\frac{8056π}{3}$+isin$\frac{8056π}{3}$）
=（cos$\frac{2π}{3}$+isin$\frac{2π}{3}$）+（cos$\frac{4π}{3}$+isin$\frac{4π}{3}$）=-$\frac{1}{2}+$$\frac{\sqrt{3}}{2}$i$-\frac{1}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$i=-1，
故答案为：-1

点评 本题考查了方程的根的求解，复数三角形式的运用，运用好三角函数的诱导公式计算化简，难度较大，计算较麻烦．