Question

20．在平面直角坐标系xoy中，设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c（c＞0），当a，b任意变化时，$\frac{a+b}{c}$的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于c²=a²+b²，解出c，代入所求式子，再由a²+b²≥2ab，即可得到最大值．

解答 解：由于c²=a²+b²，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$
则$\frac{a+b}{c}$=$\frac{a+b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（a+b）^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
=$\sqrt{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$≤$\sqrt{1+\frac{2ab}{2ab}}$=$\sqrt{2}$．
当且仅当a=b，取得等号．
则有$\frac{a+b}{c}$的最大值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，同时考查重要不等式的运用，属于中档题．