Question

20．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，BC=2，AC⊥BC，D，E，F分别为棱AA₁，A₁B₁，AC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）若异面直线AA₁与EF所成角为30°时，求三棱锥C₁-DCB的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证EF∥平面BCC₁B₁，可证EF所在平面平行于平面BCC₁B₁，取AB的中点O，连接FO，EO，由棱柱的性质可得FO∥BC，EO∥BB₁，再由面面平行的判定得到平面EFO∥平面BCC₁B₁，则答案得到证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠FEO异面直线AA₁与EF所成角，得到∠FEO=30°，进一步得到BC⊥平面ACC₁A₁，再由已知求出EO的长度，把三棱锥C₁-DCB的体积转化为B-CDC₁的体积求解．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
取AB的中点O，连接FO，EO，
∵E，F分别为棱A₁B₁，AC的中点，
∴FO∥BC，EO∥BB₁，FO∩EO=O，BC∩BB₁=B，FO，EO?平面EFO，BC，BB₁?平面BCC₁B₁，
∴平面EFO∥平面BCC₁B₁，
又EF?平面EFO，
∴EF∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠FEO异面直线AA₁与EF所成角，∴∠FEO=30°，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BB₁⊥平面ABC，
∴EO⊥平面ABC，则EO⊥FO，
∵$FO=\frac{1}{2}BC=1$，∴$EF=2，EO=\sqrt{E{F^2}-F{O^2}}=\sqrt{3}$，
由∵AC⊥BC，CC₁⊥BC，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴${V_{{C_1}-BCD}}={V_{B-CD{C_1}}}=\frac{1}{3}BC•{S_{△CD{C_1}}}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．