Question

15．设a∈R，函数f（x）=x|x-a|-a．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（3）当a＞4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=0即可求出a；
（2）讨论a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围；
（3）代入f（x），原函数变成y=f（x|x-a|），这时候换元t=x|x-a|，y=t|t-a|-a．然后画出函数t=x|x-a|和函数y=t|t-a|-a的图象，通过图象找出有几个t使得y=t|t-a|-a=0，并找出对应的x的个数，从而找到原函数的零点个数．

解答 解：（1）∵f（x）在原点有定义，f（x）为奇函数；
∴f（0）=-a=0；
∴a=0；
（2）f（x）=x|x-a|-a；
∴①若a＜2，则x=2时，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2-a）-a=4-3a；
∴4-3a≥0，a≤$\frac{4}{3}$；
∴$a≤\frac{4}{3}$；
②若2≤a≤3，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=-a；
-a＜0，不满足f（x）≥0；
即这种情况不存在；
③若a＞3，则x=3时，f（x）取得最小值f（3）=3（a-3）-a=2a-9；
∴2a-9≥0，a$≥\frac{9}{2}$；
∴$a≥\frac{9}{2}$；
∴综上得a的取值范围为（-∞，$\frac{4}{3}$]∪[$\frac{9}{2}$，+∞）；
（3）f（x）+a=x|x-a|，令x|x-a|=t；
∴y=t|t-a|-a；
下面作出函数t=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax}&{x≥a}\\{-{x}^{2}+ax}&{x＜a}\end{array}\right.$和函数y=t|t-a|-a=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-at-a}&{x≥a}\\{-{t}^{2}+at-a}&{x＜a}\end{array}\right.$的图象：

函数y=t|t-a|-a的图象可以认为由函数y=t|t-a|的图象向下平移a个单位得到；
显然函数y=t|t-a|-a的左边两个零点t=t₁，t=t₂都在（0，a）区间上，而通过t=x|x-a|的图象可看出：
∵$a＞4，\frac{{a}^{2}}{4}-a=a（\frac{a}{4}-1）＞0$，∴$a＜\frac{{a}^{2}}{4}$；
∴t₁，t₂分别有三个x和它对应；
∴这时原函数有6个零点；
由t（t-a）-a=t²-ta-a=0可以解出${t}_{3}=\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$；
∴$\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}=\frac{（{a}^{2}-2a）^{2}-4（{a}^{2}+4a）}{4（{a}^{2}-2a+2\sqrt{{a}^{2}+4a}）}$；
显然$4（{a}^{2}-2a+2\sqrt{{a}^{2}+4a}）＞0$；
而（a²-2a）²-4（a²+4a）=a[a²（a-4）-16]；
显然a²（a-4）-16可能大于0，可能等于0，可能小于0；
∴t₃可能和它对应的x个数为3，2，1；
∴此时原函数零点个数为3，2，或1；
∴原函数的零点个数为9个，8个，或7个．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法．