Question

11．已知点P是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的右支上一点，F₁，F₂是双曲线C的左、右焦点，若∠F₁PF₂=90°，则△F₁PF₂的面积为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由条件可得|PF₁|-|PF₂|=4，由题意可知△F₁PF₂为直角三角形利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF₁F₂的面积．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{5}$．
由双曲线的定义可得，|PF₁|-|PF₂|=4，
由题意可知△F₁PF₂为直角三角形，
则|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²=20，b²=1，
故（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|=|F₁F₂|²=20，
即16+2|PF₁|•|PF₂|=20，
故|PF₁|•|PF₂|=2，
故△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义与性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．