Question

19．已知曲线C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}$=1，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}$（t为参数）
（ I）写出曲线a，b的参数方程，直线2a+3b=6的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及取得最大值时P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的平方关系式，推出曲线C的参数方程，消去参数t求解直线L的普通方程．
（2）设曲线上任意一点P的坐标为$（4cosθ，2\sqrt{3}sinθ）$，则|PA|的距离是P到直线距离的两倍，得到关系式，利用三角函数的有界性求出最值．得到点的坐标．

解答 解：（1）曲线C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}$=1，曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=2\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$，
直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}$（t为参数），消去参数t，
可得，直线L的普通方程为x+2y-6=0
（2）设曲线上任意一点P的坐标为$（4cosθ，2\sqrt{3}sinθ）$，则|PA|的距离是P到直线距离的两倍
所以得$|{PA}|=2d=2|{\frac{{4cosθ+4\sqrt{3}sinθ-6}}{{\sqrt{5}}}}|=2|{\frac{{8sin（θ+\frac{π}{6}）-6}}{{\sqrt{5}}}}|$，
当$sin（θ+\frac{π}{6}）=-1$时，|PA|有最大值$\frac{{28\sqrt{5}}}{5}$，
此时θ的一个值为：-$\frac{2π}{3}$．
此时P的坐标为（-2，-3．．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，参数方程与普通方程的互化，考查计算能力．