Question

16．如图，已知Rt△ABC中，点O为斜边BC的中点，且AB=8，AC=6，点E为边AC上一点，且$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AC}$，若$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BE}=-20$，则λ=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据已知条件及图形得出：$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，并且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，所以由$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BE}=-20$即可得到$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（-\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}）$=-20，进行数量积的运算即可求得λ．

解答 解：$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$；
∵∠BAC=90°，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$；
又$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BE}=-20$；
∴$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（-\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{2}$$（-{\overrightarrow{AB}}^{2}+λ{\overrightarrow{AC}}^{2}）=\frac{1}{2}（-64+36λ）=-20$；
∴$λ=\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，以及数量积的运算，两非零向量垂直的充要条件．