Question

6．设m、n分别是方程log₂₀₁₃x+x-9=0和2013^x+x-9=0的根，则m+n=9．

Answer 1

分析 由方程的根浴函数零点间的关系可得m为函数y=log₂₀₁₃x与y=-x+9图象交点的横坐标，n是函数y=2013^x与y=-x+9图象交点的横坐标，再由y=log₂₀₁₃x与y=2013^x互为反函数，其图象关于直线y=x对称，可求得直线y=x和直线y=-x=9的交点的横坐标，则m+n的值可求．

解答 解：由log₂₀₁₃x+x-9=0，得log₂₀₁₃x=-x+9，
∵m是方程log₂₀₁₃x+x-9=0的根，∴m为函数y=log₂₀₁₃x与y=-x+9图象交点的横坐标，
同理n是函数y=2013^x与y=-x+9图象交点的横坐标，
∵y=log₂₀₁₃x与y=2013^x互为反函数，其图象关于直线y=x对称，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+9}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得：x=$\frac{9}{2}$，
∴m+n=$\frac{9}{2}×2=9$．
故答案为：9．

点评 本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了中点坐标公式的应用，是中档题．