Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0且ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）利用五点作图法画出函数y=f（x）在（0，$\frac{5π}{3}$）内的图象；
（3）若方程f（x）=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有两个不同的实根，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，根据五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用五点作图法画出函数y=f（x）在（0，$\frac{5π}{3}$）内的图象．
（3）由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有两个不同的交点，结合图象可得a的范围．

解答 解：（1）由函数的图象可得A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-（-$\frac{π}{3}$），求得ω=1．
再根据五点法作图可得1×（-$\frac{π}{3}$）+φ=0，求得φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）列表：

x+$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$
y=f（x）	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	0	-1	0

作图：
（3）∵方程f（x）=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有两个不同的实根，∴函数f（x）的图象和直线y=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有两个不同的交点，
结合图象可得-1＜a＜0 或$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜1．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，用五点法作三角函数的图象，方程解的个数的判断方法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．