Question

13．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=na_n-3n（n-1）（n∈N^*），且a₂=12．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$$＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）在数列递推式中，取n=2，结合已知a₂=12求得数列首项；
（2）在数列递推式中，取n=-1得另一递推式，作差后可得数列{a_n}为等差数列，由等差数列的通项公式得答案；
（3）求出等差数列的前n项和，取倒数后利用裂项相消法求出$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$得答案．

解答 （1）解：由S_n=na_n-3n（n-1），得a₁+a₂=2a₂-3×2×（2-1），
即a₁=a₂-6，
∵a₂=12，∴a₁=12-6=6；
（2）解：由S_n=na_n-3n（n-1），得
S_n-1=（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2）（n≥2），
两式作差得：a_n=na_n-（n-1）a_n-1-6n+6，即a_n-a_n-1=6（n≥2）．
∴数列{a_n}是以6为首项，以6为公差的等差数列，
∴a_n=6+6（n-1）=6n；
（3）证明：${S}_{n}=6n+\frac{6n（n-1）}{2}=3n（n+1）$，
则$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{3n（n+1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{n+1}）＜\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．