Question

2．设x₁，x₂是方程ax²+bx+1=0的两实根，x₃，x₄是方程a²x²+bx+1=0的两实根，若x₃＜x₁＜x₂＜x₄，则实数a的取值范围为0＜a＜1．

Answer 1

分析 设f（x）=a²x²+bx+1=0，f（x₁）=a²x₁²+bx₁+1=（a²-a）x₁²，同理可得f（x₂）=（a²-a）x₂²，又x₃，x₄是ax²+bx+1=0的两实根，若x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立，即x₁，x₂在两其根之间，可由根的分布的相关知识将这一关系转化为不等式，解出a的范围．

解答 解：x₁，x₂是方程ax²+bx+1=0的根，∴ax₁²+bx₁+1=0，
∴bx₁=-ax₁²-1，同理bx₂=-ax₂²-1，
令f（x）=a²x²+bx+1，
f（x₁）=a²x₁²+bx₁+1=（a²-a）x₁²，同理可得f（x₂）=（a²-a）x₂²，
x₃，x₄是方程a²x²+bx+1=0的两实根，要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，
即a²-a＜0，
故a的取值范围是0＜a＜1．
故答案为：0＜a＜1．

点评 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，解答的关键是对二次函数图象的特征的把握，是一道关于二次函数的综合性很强的题目．