Question

10．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD=90°，AB=1，AD=2，ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF的中点．AN⊥CF，垂足为N．
（1）求证：BF∥平面PAC；
（2）求证：AN⊥平面CDF；
（3）求三棱锥B-CEF的体积．

Answer 1

分析 （1）把证线面平行转化为证线线平行，连接BD交AC于O，连接PO，由三角形的中位线定理证得答案；
（2）证明AN⊥平面CDF，可证AN垂直于平面CDF内二相交直线，先由面面垂直的性质证明AF⊥CD，进一步证明CD⊥平面ACF，得到CD⊥AN，再由AN⊥CF得答案；
（3）把三棱锥B-CEF的体积转化为C-BEF的体积求解．

解答 （1）证明：如图，
连接BD交AC于O，连接PO，
∵PO为△BDF的中位线，∴PO∥EF，
∵PO?平面ACP，BF?平面ACP，
∴BF∥平面ACP；
（2）证明：∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，
AF⊥AB，
∴AF⊥平面ABCD，
∵CD?平面ABCD，
∴AF⊥CD，
又∵CD⊥AC，AC∩AF=A，且AC，AF?平面ACF，
∴CD⊥平面ACF，则CD⊥AN，
∵AN⊥CF，且CD，CF为平面CDF内二相交直线，
∴AN⊥平面CDF；
（3）解：∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，
又CA⊥AB，
∴CA⊥平面ABEF，
则CA=$\sqrt{B{C}^{2}-B{A}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴${V}_{B-CEF}={V}_{C-BEF}=\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•CA$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•1•\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．