Question

15．设点（x₀，0）在函数f（x）=3sin（x-$\frac{π}{3}$）-1的图象上，其中$\frac{5π}{6}$＜x₀＜$\frac{4π}{3}$，则cos（x₀-$\frac{π}{6}$）的值为-$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．

Answer 1

分析 由题意求得sin（x₀-$\frac{π}{3}$），再利用同角三角函数的基本关系求出cos（x₀-$\frac{π}{3}$），再根据cos（x₀-$\frac{π}{6}$）=cos[（x₀-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]，利用两角和的余弦公式，计算求得结果．

解答 解：由点（x₀，0）在函数f（x）=3sin（x-$\frac{π}{3}$）-1的图象上，
可得 3sin（x₀-$\frac{π}{3}$）-1=0，即sin（x₀-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$．
由$\frac{5π}{6}$＜x₀＜$\frac{4π}{3}$，可得中$\frac{π}{2}$＜x₀-$\frac{π}{3}$＜π，
∴cos（x₀-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}{（x}_{0}-\frac{π}{3}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
cos（x₀-$\frac{π}{6}$）=cos[（x₀-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（x₀-$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（x₀-$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{6}$
=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=-$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$，
故答案为：-$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于中档题．