Question

4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$\frac{a-b}{c-b}$=$\frac{sinC}{sinA+sinB}$．
（1）求角A；
（2）若f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cos（x+A），求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和余弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可求得A；
（2）运用两角和的余弦函数公式和余弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求．

解答 解：（1）由正弦定理可得，sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
若$\frac{a-b}{c-b}$=$\frac{sinC}{sinA+sinB}$，即为$\frac{a-b}{c-b}$=$\frac{c}{a+b}$，
即有（a-b）（a+b）=c（c-b），
即为b²+c²-a²=bc，
由余弦定理可得
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
由A为三角形的内角，则A=$\frac{π}{3}$；
（2）若f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cos（x+A）
=sinx+$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{3}$）=sinx+$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx=cos（x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ-π≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ，k∈Z，
解得2kπ-$\frac{7π}{6}$≤x≤2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，同时考查三角函数的恒等变换和两角和的余弦函数，以及余弦函数的单调性，属于中档题．