Question

14．数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求证：数列{c_n}的前n项和T_n＜5．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n，由于b₁，b₃，b₁₁成等比数列，可得${b}_{3}^{2}$=b₁b₁₁，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
又a₁=2²-2=2，也满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ．
b₁=a₁=2，设公差为d，
∵b₁，b₃，b₁₁成等比数列，
∴${b}_{3}^{2}$=b₁b₁₁，
∴（2+2d）²=2（2+10d），
解得d=0（舍去）或d=3，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-1．
（2）证明：c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$．
∴T_n=$\frac{2}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{8}{{2}^{3}}$+…+$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{3n-4}{{2}^{n}}$+$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$1+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{3}{{2}^{n}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$=2+$\frac{\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$=5-$\frac{3n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．