Question

19．已知以原点O为中心的椭圆C上一点到两焦点F1（-$\sqrt{7}$，0），F2（$\sqrt{7}$，0）的距离之和为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P、Q是椭圆C上两点，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，求点O到弦PQ的距离．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），从而可得2a=8，c=$\sqrt{7}$，从而解椭圆的方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；则由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，分点P、Q在坐标轴上与点P、Q不在坐标轴上讨论，从而分别求点O到弦PQ的距离，从而解得．

解答 解：（1）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
依题意，2a=8，c=$\sqrt{7}$，
故b²=16-7=9；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；
则由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，
①当点P、Q在坐标轴上时，不妨设点P在x轴上，
点Q在y轴上，过O作OH⊥PQ于点H，
可得|OH|=$\frac{12}{5}$；
②当点P、Q不在坐标轴上时，
设直线OP的方程为y=kx，则直线OQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$x；
将y=kx代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1得，
${x}_{1}^{2}$=$\frac{144}{16{k}^{2}+9}$，
∴|OP|²=${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$=$\frac{144（{k}^{2}+1）}{16{k}^{2}+9}$，
同理可得，|OQ|²=$\frac{144（{k}^{2}+1）}{9{k}^{2}+16}$；
又在Rt△POQ中作OH⊥PQ于点H，
于是由|OH|•|PQ|=|OP|•|OQ|得，
|OH|²=$\frac{|OP{|}^{2}•|OQ{|}^{2}}{|PQ{|}^{2}}$
=$\frac{|OP{|}^{2}•|OQ{|}^{2}}{|OP{|}^{2}+|OQ{|}^{2}}$
=$\frac{144}{25}$；
故|OH|=$\frac{12}{5}$；
综上所述，所求椭圆中心O到弦PQ的距离为$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的方程的求法及椭圆与直线的位置关系及应用，属于中档题．