Question

4．设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，若M=（$\frac{1}{a}$-1）•（$\frac{1}{b}$-1）•（$\frac{1}{c}$-1），则M的最小值为8．

Answer 1

分析 将M=（$\frac{1}{a}$-1）•（$\frac{1}{b}$-1）•（$\frac{1}{c}$-1）变形为$\frac{（b+c）（c+a）（a+b）}{abc}$，利用基本不等式的性质求出即可．

解答 解：∵M=（$\frac{1}{a}$-1）•（$\frac{1}{b}$-1）•（$\frac{1}{c}$-1）
=$\frac{1-a}{a}$•$\frac{1-b}{b}$•$\frac{1-c}{c}$
=$\frac{（b+c）（c+a）（a+b）}{abc}$
≥$\frac{2\sqrt{bc}•2\sqrt{ca}•2\sqrt{ab}}{abc}$ 
=8，
当且仅当a=b=c时取等号，∴M≥8．
故答案为：8．

点评 本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．