Question

9．在平面直角坐标系xoy中，已知点P为直线l：x=2上一点，过点A（1，0）作OP的垂线与以OP为直径的圆K相交于B，C两点．
（1）若BC=$\sqrt{6}$，求圆K的方程；
（2）求证：点B始终在某定圆上．
（3）是否存在一定点Q（异于点A），使得$\frac{QB}{AB}$为常数？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设P（2，t）（t≠0），则圆K的方程为$（x-1）^{2}+（y-\frac{t}{2}）^{2}=1+\frac{{t}^{2}}{4}$，通过圆心到直线BC的距离，可得t=±2，从而得圆K的方程；
（2）设B（x₀，y₀），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OP}=0}\\{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$ 消去参数t，即得点B的轨迹方程；
（3）设点Q（a，b），$\frac{Q{B}^{2}}{A{B}^{2}}=c$ （c为常数），利用x²+y²=2计算（x-a）²+（y-b）²=c[（x-1）²+y²]即可．

解答 解：（1）设P（2，t）（t≠0），则圆K的方程为$（x-1）^{2}+（y-\frac{t}{2}）^{2}=1+\frac{{t}^{2}}{4}$，
直线OP的斜率为$\frac{t}{2}$，又OP⊥BC，所以BC的斜率$-\frac{2}{t}$，
从而BC的方程为$y=-\frac{2}{t}（x-1）$，即2x+ty-2=0，
则圆心K（1，$\frac{t}{2}$）到直线BC的距离为$\frac{{t}^{2}}{2\sqrt{4+{t}^{2}}}$，
由（$\frac{{t}^{2}}{2\sqrt{4+{t}^{2}}}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=$1+\frac{{t}^{2}}{4}$，解得t=±2，
所以圆K的方程为（x-1）²+（y±1）²=2；
（2）设B（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OP}=0}\\{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$ 得$\left\{\begin{array}{l}{2（{x}_{0}-1）+t{y}_{0}=0}\\{{x}_{0}（{x}_{0}-2）+{y}_{0}（{y}_{0}-t）=0}\end{array}\right.$，
消去参数t，得${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=2$，
所以点B的轨迹方程为圆：x²+y²=2；
（3）设点Q（a，b），$\frac{Q{B}^{2}}{A{B}^{2}}=c$ （c为常数），
则（x-a）²+（y-b）²=c[（x-1）²+y²]，
整理，得（c-1）（x²+y²）+2（a-c）x+2by+c-a²-b²=0，
由于x²+y²=2，所以2（a-c）x+2by+3c-a²-b²-2=0，
从而$\left\{\begin{array}{l}{2（a-c）=0}\\{2b=0}\\{3c-{a}^{2}-{b}^{2}-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=0}\\{c=2}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\\{c=1}\end{array}\right.$（舍），
所以存在定点Q（2，0），使得$\frac{QB}{AB}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线和圆的方程的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．