Question

19．若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$上的投影为$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 运用向量的平行四边形法则，取BC的中点D，连接OD并延长到点E，使得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{OD}$，则OD⊥BC，且$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}$，再由勾股定理和向量的投影的概念即可求得结果．

解答 解：$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，即为
$\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），
取BC的中点D，连接OD并延长到点E，使得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{OD}$，
则OD⊥BC，由于$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{OE}$，
由|$\overrightarrow{AO}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=4，
∴|$\overrightarrow{OD}$|=1，
∴CD=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$．
∴向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为$\sqrt{15}$．
故答案为：$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了菱形的性质、向量的平行四边形法则、三角形外心的性质、向量的投影、勾股定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．