Question

9．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}\right.$（ϕ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线$θ=\frac{π}{3}$与曲线C₂交于点$D（2，\frac{π}{3}）$．
（1）求曲线C₁，C₂的普通方程；
（2）$A（{ρ_1}，θ），B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$是曲线C₁上的两点，求$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}+\frac{1}{{{ρ_2}^2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）消去参数，可得曲线C₁的普通方程，利用曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线$θ=\frac{π}{3}$与曲线C₂交于点$D（2，\frac{π}{3}）$，可得曲线C₂的普通方程；
（2）曲线C₁的极坐标方程为${ρ}^{2}=\frac{4}{4si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$，代入，可得$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}+\frac{1}{{{ρ_2}^2}}$的值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}\right.$（ϕ为参数），普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线$θ=\frac{π}{3}$与曲线C₂交于点$D（2，\frac{π}{3}）$，曲线C₂的普通方程为（x-2）²+y²=4-----------（4分）
（2）曲线C₁的极坐标方程为${ρ}^{2}=\frac{4}{4si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$，
所以$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}+\frac{1}{{{ρ_2}^2}}$=$\frac{4si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{4}$+$\frac{4co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}{4}$=$\frac{5}{4}$------------------------（10分）

点评 本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．