Question

1．已知数列{a_n}中，a_n＞0，4S_n=（a_n+1）²．
（1）求a_n；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，求其前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据4S_n=（a_n+1）²．得出4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．a_n-a_n-1=2，可判断得出数列{a_n}为等差数列，公差为2，首项为1，求解即可．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，运用错位相减的方法求解即可．

解答 解：（1）∵数列{a_n}中，a_n＞0，4S_n=（a_n+1）²①，
（a₁-1）²=0，
即a₁=1，
4S_n-1=（a_n-1+1）²②
①-②得出4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．
即（a_n-1）²=（a_n-1+1）²．
（a_n-1）=±（a_n-1+1）．
即a_n-1=a_n-1+1或a_n-1=-a_n-1-1
化简得出≥2，a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（舍去）
可判断得出数列{a_n}为等差数列，公差为2，首项为1，
∴a_n=2n-1，
（2）∵设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$
∴其前n项和T_n=$\frac{1}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$$+\frac{5}{{3}^{3}}$$+\frac{7}{{3}^{4}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n-1}}$$+\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，①
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$$+\frac{3}{{3}^{3}}$+$\frac{5}{{3}^{4}}$+$\frac{7}{{3}^{5}}$+…$+\frac{2n-3}{{3}^{n}}$$+\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$②
①-②：$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}+$2（$\frac{1}{{3}^{2}}$$+\frac{1}{{3}^{3}}$$+…+\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{3}+$2×$\frac{\frac{1}{9}×（1-（\frac{1}{3}）^{n-1}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{2}{3}$+（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴其前n项和T_n=1+$\frac{3}{2}$×（$\frac{1}{3}$）ⁿ，

点评 本题综合考查了数列的递推关系式，等差数列的性质，公式，错位相减的方法，属于中档题，化简仔细认真．