Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2．
（1）求直线l与圆C的公共点的个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到线段C′，设G（x，y）为曲线C′上一点，求x²+xy+4y²的最大值，并求相应点G的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接消去参数t得直线l的普通方程，根据ρ²=x²+y²可得曲线C的直角坐标方程，从而可判断直线l与圆C的公共点的个数；
（2）先根据伸缩变换得到曲线C′的方程，然后设M（2cosθ，sinθ），则x=2cosθ，y=sinθ代入x²+xy+4y²=1+sin2θ，根据三角函数的性质可求出所求．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为y=2+x，即x-y+2=0．
圆C的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x²+y²=4，圆心为（0，0），半径为2，
圆心到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$＜2，所以直线l与圆C的公共点的个数为2；
（2）∵曲线C：x²+y²=4经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到曲线C'，
∴C′：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
设G（2cosθ，sinθ）则x=2cosθ，y=sinθ，
∴x²+xy+4y²=1+sin2θ，
∴x²+xy+4y²的最大值为2，点G的坐标（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查了极坐标方程，参数方程化直角坐标方程，以及椭圆的参数方程在求最值上的应用和三角函数求出最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．