Question

14．已知函数f（x）=$\frac{x}{x+2}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=2ⁿa_na_n+1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=$\frac{x}{x+2}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=2ⁿa_na_n+1=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．利用“裂项求和”可得S_n，即可证明．

解答 （1）解：∵函数f（x）=$\frac{x}{x+2}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n}}+1$，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比数列，首项为2，公比为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+1={2}^{n}$，
化为${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}-1}$．
（2）证明：b_n=2ⁿa_na_n+1=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$（1-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1，
∴S_n＜1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．