Question

19．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点 F₁，F₂在x轴上，焦距与短轴长均为2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，与椭圆C交于A，B两点，且|AB|是|F₁A|与|F₁B|的等差中项，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（其中a＞b＞0），根据题意，代入计算即可；
（Ⅱ）分直线l的斜率是否存在两种情况考虑：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程并代入椭圆C，结合韦达定理，利用已知条件可求得斜率k=±1；当直线l⊥x轴时，不合题意．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（其中a＞b＞0）
由题意得，$2c=2b=2\sqrt{2}$，所以$b=c=\sqrt{2}$，
又a²=b²+c²，从而a²=4，b²=2，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为$y=k（x-\sqrt{2\;}\;）$，
代入椭圆C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
整理得$（1+2{k^2}）{x^2}-4\sqrt{2}{k^2}x+4{k^2}-4=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理，
得${x_1}+{x_2}=\frac{{4\sqrt{2}{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+2{k^2}}}$，
由于|AB|是|FA₁|与|F₁B|的等差中项，则|F₁A|+|BF₁|=2|AB|，
而|F₁A|+|AB|+|BF₁|=4a=8，所以$|{AB}|=\frac{8}{3}$．
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{（{x_1}+{x_2}）-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{4（1+{k^2}）}}{{1+2{k^2}}}=\frac{8}{3}$，解得k=±1；
当直线l⊥x轴时，$x=\sqrt{2}$，代入得y=±1，|AB|=2，不合题意．
所以，直线l的方程为$y=±（x-\sqrt{2}）$．

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键．