Question

9．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为l，动点P在正方体表面上且满足|PA|=|PC₁|，则动点P的轨迹长度为（　　）

• A． 3
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 首先以边D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，得到A（1，0，1），C₁（0，1，0），由于动点P在正方体的表面上，所以可讨论P点在正方体各面上的情况．这时候，可先来看一下P点在平面ABCD上的情况，这样设P（x₀，y₀，1），根据条件|PA|=|PC₁|得到${y}_{0}={x}_{0}+\frac{1}{2}$，所以这时可建立平面直角坐标系，从而找出直线${y}_{0}={x}_{0}+\frac{1}{2}$和正方体边的交点，从而找到P点在该平面上的轨迹为一条线段，并可求出该线段长度为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，而同理P点在其它平面上时求法一样，且都为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，这样便可求P点轨迹的长度．

解答 解：如图，分别以边D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；
可以以下两点坐标：
A（1，0，1），C₁（0，1，0）；
若P点在正方形ABCD内，设P（x₀，y₀，1）；
∴由|PA|=|PC₁|得：
$（{x}_{0}-1）^{2}+{{y}_{0}}^{2}={{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-1）^{2}+1$；
∴${y}_{0}={x}_{0}+\frac{1}{2}$；
分别以边DA，DC为x′轴，y′轴建立平面直角坐标系；
直线${y}_{0}={x}_{0}+\frac{1}{2}$就是直线EF，所以在该平面上的P点的轨迹是线段EF，且|EF|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
同理可求P点在其它平面上时P点的轨迹也是线段，且长度都为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴动点P的轨迹长度为$\frac{\sqrt{2}}{2}×6=3\sqrt{2}$．
故选B．

点评 考查建立空间直角坐标系，平面直角坐标系解决问题的方法，会确定空间点的坐标，空间两点之间的距离公式，以及平面直角坐标系中的直线方程．