Question

17．函数y=1+4cosx-4sin²x（-$\frac{2π}{3}$≤x≤$\frac{3π}{4}$）的值域是[-4，5]．

Answer 1

分析 运用同角的平方关系，并配方得y=4cos²x+4cosx-3=4（cosx+$\frac{1}{2}$）²-4．由于-$\frac{2π}{3}$≤x≤$\frac{3π}{4}$，可得cosx∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，利用二次函数的单调性即可得出最值，进而得到值域．

解答 解：y=1+4cosx-4sin²x
=1+4cosx-4（1-cos²x）=4cos²x+4cosx-3
=4（cosx+$\frac{1}{2}$）²-4．
∵-$\frac{2π}{3}$≤x≤$\frac{3π}{4}$，
∴cosx∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴当cosx=1即x=0时，y取得最大值5，
当cosx=-$\frac{1}{2}$即x=±$\frac{2π}{3}$时，y取得最小值-4，
即有函数的值域为[-4，5]．
故答案为：[-4，5]．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、余弦函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．