Question

12．已知函数f（x）=sinx，0＜x₁＜x₂$＜\frac{π}{2}$，则下列四个命题中正确的是（　　）
①[x₁f（x₁）-x₂f（x₂）]（x₁-x₂）＜0
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
③f（x₁）+x₂＞f（x₂）+x₁
④x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞2x₁f（x₂）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①令g（x）=xsinx，x∈$（0，\frac{π}{2}）$，利用导数研究其单调性即可判断出正误；
②令h（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈$（0，\frac{π}{2}）$，利用导数研究其单调性即可判断出正误；
③令v（x）=-x+sinx，利用导数研究其单调性即可判断出正误；
④由②可得：$\frac{sin{x}_{1}}{{x}_{1}}＞\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}$，即x₂sinx₁＞x₁sinx₂，因此x₂sinx₂-x₁sinx₂＞x₂sinx₂-x₂sinx₁，即$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}＞$$\frac{sin{x}_{2}-sin{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，又$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}$，即可判断出正误．

解答 解：①令g（x）=xsinx，x∈$（0，\frac{π}{2}）$，则g′（x）=sinx+xcosx＞0，∴函数g（x）单调递增，∵0＜x₁＜x₂$＜\frac{π}{2}$，∴[x₁f（x₁）-x₂f（x₂）]（x₁-x₂）＞0，因此不正确；
②令h（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴h′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，令u（x）=xcosx-sinx，u′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0，∴u（x）＜u（0）=0，
∴h′（x）＜0，∴函数h（x）在x∈$（0，\frac{π}{2}）$单调递减，∵0＜x₁＜x₂$＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＞\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，∴x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）正确；
③令v（x）=-x+sinx，利用导数可得函数v（x）在x∈$（0，\frac{π}{2}）$单调递减，∵$0＜{x}_{1}＜{x}_{2}＜\frac{π}{2}$，∴v（x₁）＞v（x₂），∴f（x₁）+x₂＞f（x₂）+x₁，正确；
④由②可得：$\frac{sin{x}_{1}}{{x}_{1}}＞\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}$，即x₂sinx₁＞x₁sinx₂，∴x₂sinx₂-x₁sinx₂＞x₂sinx₂-x₂sinx₁，∴$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}＞$$\frac{sin{x}_{2}-sin{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，又$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}$，
∴$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{sin{x}_{2}-sin{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，可得x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞2x₁f（x₂），因此正确．
综上可得：②③④正确．
故选：D．

点评 本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较数的大小的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．