Question

7．求f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$的奇偶性和单调性，并画出它的图象．

Answer 1

分析 先求函数f（x）的定义域，说明定义域关于原点对称，然后求f（-x）=-f（x），从而判断该函数为奇函数．要画出该函数的图象，先根据导数判断f（x）的单调性，从而知道图象的变化趋势，找几个点描出，并判断x趋向-1，1时，f（x）趋向情况，从而连线画出图象．

解答 解：f（x）的定义域为{x|x≠±1}；
f（-x）=$-\frac{x}{{x}^{2}-1}=-f（x）$；
∴函数f（x）为奇函数；
f′（x）=$-\frac{{x}^{2}+1}{（{x}^{2}-1）^{2}}＜0$，所以该函数在（-∞，-1），（-1，1），（1，+∞）上为减函数；
取这样几个点：（-2，$-\frac{2}{3}$），（0，0），（2，$\frac{2}{3}$），x趋向-1时，f（x）趋向-∞，趋向1时，f（x）趋向+∞；
所以画出其图象如下：
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点评 考查奇函数定义域的特点，奇函数的定义及判断方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据图象的变化趋势及几个特殊点画函数图象的方法．