Question

19．求数列2，$\frac{2}{1+2}$，$\frac{2}{1+2+3}$，…，$\frac{2}{1+2+…+n}$的前n项和．

Answer 1

分析 由等差数列的前n项和求出原数列的通项公式，再由裂项相消法得答案．

解答 解：∵$\frac{2}{1+2+…+n}=\frac{2}{\frac{n（n+1）}{2}}=4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴2，$\frac{2}{1+2}$，$\frac{2}{1+2+3}$，…，$\frac{2}{1+2+…+n}$的前n项和为：
S_n=2+$\frac{2}{1+2}$+$\frac{2}{1+2+3}$+…+$\frac{2}{1+2+…+n}$
=$4（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$4（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{4n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的前n项和，考查了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．