Question

4．函数y=f（x）由（2^x）^y=2^x•2^y确定，则方程f（x）=$\frac{{x}^{2}+2}{3}$的实数解有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 根据指数幂的运算法则求出f（x）的表达式，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：由（2^x）^y=2^x•2^y得2^xy=2^x+y，
即xy=x+y，则（x-1）y=x，
当x=1时，方程不成立，
当x≠1时，方程等价为y=$\frac{x}{x-1}$，即f（x）=$\frac{x}{x-1}$，（x≠1），
作出函数f（x）与y=$\frac{{x}^{2}+2}{3}$的图象如图：
由图象知两个图象只有一个交点，
故方程f（x）=$\frac{{x}^{2}+2}{3}$的实数解有1个，
故选：B．

点评 本题主要考查方程根的个数的求解，求出函数f（x）的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．