Question

13．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}$（t为参数）．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．
（2）设曲线C经过伸缩变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=3x}\\{y'=y}\end{array}}$得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+$\sqrt{3}$y的最小值．

Answer 1

分析 （1）由直线L的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}$消去参数t得直线L的直角坐标方程．由公式ρ²=x²+y²得曲线C的直角坐标方程．
（2）曲线C经过伸缩变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=3x}\\{y'=y}\end{array}}$变为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{x′}{3}}\\{y=y′}\end{array}\right.$代入直角坐标方程即可得到曲线C′的方程，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{z=x+\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，消去x，令△=0，解之即可．

解答 解：（1）由直线L的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}$消去参数t得直线L的直角坐标方程为：$\sqrt{3}$x-y+2-$\sqrt{3}$=0，
由公式ρ²=x²+y²得曲线C的直角坐标方程为x²+y²=1；
（2）曲线C经过伸缩变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=3x}\\{y'=y}\end{array}}$变为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{x′}{3}}\\{y=y′}\end{array}\right.$，
将其代入直角坐标方程得到曲线C′的方程
为$（\frac{x′}{3}）^{2}+y{′}^{2}=1$，即$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$，
记z=x+$\sqrt{3}$y，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{z=x+\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
消去x，得$12{y}^{2}-2\sqrt{3}zy+{z}^{2}-9=0$，
显然$△=（-2\sqrt{3}z）^{2}-4×12×（{z}^{2}-9）=0$，
解得z=$±2\sqrt{3}$，故x+$\sqrt{3}$y得最小值为$-2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了参数方程极坐标化为普通方程、伸缩变换、直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题．