Question

3．两条曲线的极坐标方程分别为C₁：ρ=1与C₂：ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），它们相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C₁的参数方程和曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （I）利用ρ²=x²+y²即可得出C₁：ρ=1的普通方程，利用sin²α+cos²α=1即可得出其参数方程C₂：ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），展开${ρ}^{2}=2×\frac{1}{2}ρcosθ-2×\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，解得A，B，再利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：（I）C₁：ρ=1的普通方程为x²+y²=1，其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
C₂：ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），化为${ρ}^{2}=2×\frac{1}{2}ρcosθ-2×\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=x-\sqrt{3}y$，即${x}^{2}+{y}^{2}-x+\sqrt{3}y$=0．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（0+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、普通方程化为参数方程、曲线的交点、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．